blog-e cinta: kalulus turunan implisit

A. TURUNAN IMPLISIT

Definisi: sebuah metode untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.

Penyelesaian dengan dua metode

Contoh 1: cari dy/dx jika 4x²y-3y=x³-1

METODE I: menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y secara explisit

y(4x²y-3y) = x³-1

y =

jadi

METODE 2: pendiferensial implisit,kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari

4x²y-3y=x³-1

Setelah menggunakan aturan hasil kali pada suku pertama, kita peroleh

-3) = 3-8xy

Walaupun jawaban ini kelihatanya berlainan dengan hasil metode1, kedua turunan tersebut setara. Untuk melihat ini, masukan y= kedalam ungkapan untuk yang baru saja diperoleh

= =

Beberapa kesukaran yang tak ketara

Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan fungsi y=f(x) dan jika fungsi ini terdeferensialkan, maka netode pendeferensialan implicit akan menghasilkan ungkapan yang benar untuk tetapi perhatikan terhadap dua “jika” besar dalam pernyataan ini.

Pertama perhatikan persamaan

x²+y² = -1

Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak menentukan suatu fungsi. Sebaliknya,

Menentukan fungsi dari fungsi . Grafik fungsi – fungsi tersebut diperlihatkan dalam gambar di bawah ini :

Beruntunglah, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikan . Ia memenuhi

Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan diselesaikan untuk , kita peroeh ;

Perlakuan serupa yang lengkap terhadap

Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serentak dengan pendeferensialan secara implisit dari ;

Ini akan memberikan ;

Secara wajar, hasil – hasilnya identik dengan yang diperoleh diatas.

Perhatikan bahwa seringkali cukup untuk mengetahui agar dapat menerapkan hasil – hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran

Bilamana x=3 . nilai – nilai y yang berpadaan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4), yang masing – masing dierleh dengan menyulihkan dalam , adalah dan (lihat gambar diatas).

Untuk mempersulit keadaan, kita tunjukkan bahwa,

Menentukan banyak fungsi lain. Misalnya, andang fungsi h yang didefinisikan oleh ;

Fungsi ini juga memenuhi x²+y²=25. Karena . Tetapi ia bahkan tidak kontinu di , sehingga tentu saja tidak mempunyai turunan pada gambar diatas.

Dalam contoh berikut, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan menentukan satu atau lebih fungsi – fungsi terdiferensialkan yang turunan – turunannya dapat dicari dengan pendiferensialan implisit. Perhatikan bahwa tiap kasus, kita mulai dengan mengambil turunan tiap ruas persamaan yang diberikan terhadap peubah yang sesuai. Kemudian kita gunakan aturan rantai yang diperlukan.

Contoh 2:

Contoh 3: Cari D_ty jika t³+ t²y – 10y⁴ = 0

Jawab :

D_t ( t³ + t²y – 10y⁴ ) = D_t (0)

3t³ + t²D_ty + y ( 2t ) – 40y³D_ty = 0

Dty ( t² – 40y³ ) = -3t² – 2ty

D_ty =

Contoh 4: Cari persamaan garis singgung pada kurva y³– xy² + cos xy = 2 di titik ( 0,1 ).

Jawab : Untuk menyederhanakan, kita gunakan notasi y’ untuk dy/dx. Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya, kita peroleh

3y²y’ – x (2xy’) – y² – ( sin xy )( xy’ + y ) = 0

y’ ( 3y² – 2xy – x sin xy ) = y² + y sin xy

y’ =

di ( 0,1 ), y’ = . Sehingga persamaan garis singgung di ( 0,1 ) adalah

y – 1 = ( x-0 )

Aturan Pangkat Lagi Kita telah mempelajari bahwa D_X( Xⁿ) = nx^{n – 1}, dengan n bilangan bulat sebarang. Sekarang ini kita perluas untuk kasus dengan n berupa bilangan rasional sebarang.

Teorema A

( Aturan Pangkat ). Andaikan r bilangan rasional sebarang. Maka D_r( X^r) = rx^{r – 1}

Bukti karena r rasional, maka r dapat dituliskan sebagai p/q, dengan p dan q bilangan bulat dan q > 0. Andaikan y = x^r = x^p/q

Maka, y^q = x^p

Dan dengan pendeferensialan implisit, qy^q-1 D_xy = px^p-1

Jadi, D_xy = = =

= = =

Contoh 5: Cari D_xy jika y = 2x^11/3 + 4x^3/4 – 6x^2/3.

Jawab : D_xy = 2D_x(x^11/3) + 4D_x(x^3/4) – 6D_x (x^2/3)

Kemudian, menggunakan aturan yang baru saja dibuktikan.

D_xy = 2. x^8/3 + 4. x^-1/4 – 6 (- x^{- 5/3}

Contoh 6 : jika y = , cari dy/dt

Jawab : y = u^1/2 dan u = dan terapkan aturan rantai

B. NILAI EKSTRIM FUNGSI 2 PEUBAH

Definisi :

Andaikan S, daerah asal f, mengandung titik c. Dapat dikatakan bahwa :

(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ³ f(x) untuk semua x di S.

(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) £ f(x) untuk semua x di S.

(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum.

Sekarang kita perhatikan pada , fungsi tersebut tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum. Namun, fungsi yang sama pada mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum . Pada S = (1,3] f tidak mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum

Teorema A

(Teorema Keberadaan Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.

Nilai-nilai ekstrim muncul di titik-titik krisis dari tiga tipe titik, yaitu: titik- titik ujung/ batas, titik stasioner, dan titik singular.

Contoh 7 :

Cari titik-titik kritis dari pada , 2]

Jawab : Titik-titik ujung adalah dan 2. Untuk mencari titik stationer kita pecahkan untuk x diperoleh 0 dan 1. Tidak ada titik singular. Jadi titik-titik kritis adalah

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :

(i) Titik ujung dari I

(ii) Titik stationer dari f (f’(c) = 0 )

(iii) Titik singular dari f (f’(c) tidak ada )

Bukti :

Pandang kasus pertama, dengan f(c) berupa nilai maksimum f pada I dan andaikan bahwa c bukan titik ujung atau titik singular. Akan cukup untuk memperlihatkan bahwa c adalah titik stationer.

Karena f(c) adalah nilai maksimum, maka f(x) £ f(c) untuk semua x dalam I, yaitu f(x) - f(c) £ 0.

Jadi jika x < c, sehingga x – c <> (1)

Sedangkan jika x > c, maka (2)

Tetapi f’(c) ada, karena c bukan titik singular. Akibatnya, bilamana kita biarkan dalam (1) dan dalam (2). Kita peroleh masing-masing f’(c) ³ 0 dan f’(c) £ 0. Dapat kita simpulkan bahwa f’(c) = 0, seperti yang diinginkan.

Cara mencari nilai Ekstrim :

Langkah 1 Carilah titik-titik kritis f pada I.

Langkah 2 Hitunglah f pada setiap titik kritis. Yang terbesar diantara nilai-nilai ini adalah nilai maksimum, yang terkecil adalah nilai minimum.

Contoh 8:

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari pada , 2]

Jawab :

Dalam contoh 1, kita kenali sebagai titik-titik kritis. Sekarang . Jadi nilai maksimum adalah 1 (dicapai pada dan 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada 2).

Contoh 9 :

Biaya operasi sebuah truk di perkirakan sebesar ( 30 + v/2) sen dolar setiap mil pada saat di kendarai dengan laju v mil/ jam. Pengemudi dan kenek di bayar 14 dolar tiap jam. Pada laju berapa biaya pengiriman ke suatu kota yang jauhnya k mil akan paling murah? Anggap bahwa peraturan membatasi kcepatan pada 40 ≤ v ≤ 60.

Jawab : misalkan C adalah biaya total dalam sen dolar untuk menjalankan truk sejauh k mil. Maka, C = upah sopir + biaya operasi